数列の問題(小5算数)
先日、娘が突然「これ解ける?」と数列の問題を出してきました。
教えてじゃなくて?今やってる割合じゃなくて?と思いましたが、パパは算数得意で成績はかなり良かったと言っている手前、父親の威厳を保つためにも娘からの問いかけは軽く片づけるしかありません。
ということで瞬殺。
もっとスマートな解き方があるとは思いますが、威厳を保つために瞬殺しなければいけなかったのと、娘目線で一つ一つ解き明かす作業にしたのでちょっと泥臭い解答になりました。
ただ、私には簡単でも娘には複雑で難しいと思います。Hクラスでもこれくらいできないといけないの?と考えさせられもします。
数列の基本は規則性を見つけることですが、この問題はその規則が複数入り混じったり、分数を変形させて隠したりと巧妙に細工されています。
娘に事情を聞くと、塾の授業で先生に出題されて、次回に解答するとのこと。
今、浜学園の講義単元は割合ですが、この数列の問題に割合は使わないので不思議に思います。
想像の範疇を脱することはできませんが、「先生のきまぐれ」「算数が得意な生徒への好奇心をくすぐる」「難しい問題を諦めずに取り組む姿勢を教える」「親子で勉強するきっかけづくり」くらいが出題意図かなと考えさせられます。
ま、いずれにせよ娘は「父親を試す問題」として挑んできたので返り討ちにした上で、がっつり説明して勉強させてやりました。
次の授業での答え合わせで解答が間違ってたら娘はドヤ顔で私に言い寄ってくると思いますが、その時は難しい問題への取り組む姿勢と考え方が大切なんだと開き直ってやります。。。
問題:
まず、規則性を探すために目をこらすと、「1」に違和感があるので「1」で区切ってみると、その右隣は2、3、4、・・・という法則がわかる。
「1」から「1」までの個数も2個、3個、4個・・・と増えていく。
次に分数に注目すると、規則性がありそうなので都合よく変形させると、
「1」を越えるたびに分母が一つ大きくなった同じ形の分数が登場するのがわかる。
で、その分数は「1」を越えるたびに分子が一つずつ増えていく。
この数列の規則性がわかったので、100番目に一番近い「1」は何番目か探す。
「1」から次の「1」までの数字の個数は2個、3個、4個・・・と増えていくので、
2+3+4+・・・で考える。
1〜10の合計は55だから、2〜10の合計は54。
なので、11から足していくと、
54(=2+3+4+・・・10)+11+12+13=90となり、91番目が「1」とわかる。
「1」の右隣は先ほどの足し算で最後に足した「13」の次の数字「14」で、その次から分数が始まる。
で、最初の分数は 「1」の右隣が「3」の時に登場した分数で「1」を越えるたびに分子が1ずつ増えていくので、分子は「12」となる。
書き出していくと、
なので、100番目は